線性代數(shù)梳理

1、行列式

該部分的基本考點(diǎn)可以分為兩大部分：

首先第一部分考點(diǎn)就是行列式的計(jì)算，要求大家掌握行列式概念、性質(zhì)和展開(kāi)定理，以及計(jì)算行列式的公式，包括三部分：

一是特殊的行列式，如上(下)三角行列式，低階行列式，范得蒙行列式;

二是方陣的行列式，主要告訴我們?cè)诰仃嚨母黝愡\(yùn)算下行列式的變化情況，包括矩陣的轉(zhuǎn)置、數(shù)乘、乘法以及分塊矩陣下行列式的計(jì)算公式，還包括逆矩陣和伴隨矩陣的行列式;

三是結(jié)合特征值，矩陣所有特征值的乘積就等于矩陣的行列式，所以計(jì)算矩陣行列式的另一思路是求出矩陣所有的特征值。

第二部分考點(diǎn)是行列式的應(yīng)用，也即線性代數(shù)后續(xù)章節(jié)中需要我們計(jì)算行列式的考點(diǎn)。主要有三方面：

一是矩陣可逆的充要條件;

二是線性方程組的克萊姆法則，如果線性方程組的系數(shù)矩陣是方陣，則可以考慮使用克萊姆法則，對(duì)非齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣行列式不為零。

換言之，方程組無(wú)解或是有無(wú)窮多解時(shí)都有系數(shù)矩陣的行列式為零，對(duì)齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，方程組僅有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式不為零;

三是特征值的計(jì)算。

2、矩

該部分是線性代數(shù)的核心知識(shí)，它是后面其他各章節(jié)的基礎(chǔ)，在向量組、線性方程組、特征值、二次型中均有體現(xiàn)。

首先要求大家熟悉常見(jiàn)矩陣，熟練掌握矩陣的運(yùn)算以及法則(特別是不成立的運(yùn)算法則：交換律和消去律)，這是考試的最基本的要求。其次是對(duì)特殊矩陣的考察，包括可逆矩陣、伴隨矩陣、初等矩陣、正交矩陣。

對(duì)于可逆矩陣是我們需要掌握其定義和性質(zhì)、可逆性的討論以及計(jì)算逆矩陣的方法;對(duì)于伴隨矩陣需要掌握定義、性質(zhì)、以及秩的公式;對(duì)于初等矩陣我們需要掌握三類初等矩陣以及它們對(duì)應(yīng)的逆矩陣和左行右列的定理即可;對(duì)于正交矩陣我們需要掌握其定義、性質(zhì)。

秩是線性代數(shù)中最為常用的也是最好用的工具之一，它既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，比較抽象，秩是貫穿線性代數(shù)始終的一個(gè)核心概念，整個(gè)線性代數(shù)的核心理論體系都是通過(guò)秩來(lái)串聯(lián)和表達(dá)的。這里不僅僅要求要我們記住相關(guān)的定理和結(jié)論，更要求我們掌握與之相關(guān)的思想方法。

3、線性方程組和向量

考試中線代第一道解答題通常情況下出自兩個(gè)部分的內(nèi)容，用矩陣表示的線性方程組的求解問(wèn)題、用向量表示的線性方程組的解法，但是從本質(zhì)上向量和矩陣都可以轉(zhuǎn)化為線性方程組的問(wèn)題，所以這里核心要掌握線性方程組的解法。

首先關(guān)于線性方程組我們需要關(guān)注三個(gè)問(wèn)題：解的存在性、唯一性、解的結(jié)構(gòu);同學(xué)們一定要掌握解的存在性及唯一性的判別，充要條件以及性質(zhì);解得結(jié)構(gòu)重點(diǎn)要掌握和理解基礎(chǔ)解系的概念。

這個(gè)部分常見(jiàn)的題型如下：(1)線性方程組的求解;(2)方程組解向量的判別及解的性質(zhì);(3)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系;(4)非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu);(5)兩個(gè)方程組的公共解、同解等問(wèn)題。

其次關(guān)于向量這一部分，它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，主要是因?yàn)槠浔容^抽象，進(jìn)而就會(huì)導(dǎo)致我們同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)理解以及做題上的困難。

這一部分主要是要掌握兩個(gè)核心概念：線性表示和線性相關(guān)。關(guān)于這兩個(gè)核心概念重點(diǎn)掌握其定義、充要條件(與秩的結(jié)合)以及性質(zhì)，關(guān)于這兩類題型我們一般是與非齊次線性方程組和齊次線性方程組一一對(duì)應(yīng)來(lái)求解。

4、特征值與特征向量、相似、二次型

考試中線代第二道解答題通常情況下出自這三個(gè)部分內(nèi)容，首先特征值和特征向量是作為這三個(gè)部分的基礎(chǔ)工具而存在，對(duì)于特征值與特征向量我們需要掌握定義，性質(zhì);其次是相似，關(guān)于相似必須掌握相似的定義以及性質(zhì)，這一塊?？嫉氖窍嗨茖?duì)角化的內(nèi)容。

關(guān)于相似對(duì)角化的定義，充要條件一定要掌握，這是這一塊的一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，這兩部分考試?？嫉念}型有：(1)數(shù)值型矩陣的特征值和特征向量的求法;(2)抽象矩陣特征值和特征向量的求法;(3)判定矩陣是否能夠相似對(duì)角化;(4)由特征值或特征向量煩求矩陣;(5)有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問(wèn)題(性質(zhì))。

5、二次型

二次型是與其二次型的矩陣對(duì)應(yīng)的，因此有關(guān)二次型的很多問(wèn)題我們都可以轉(zhuǎn)化為二次型的矩陣問(wèn)題，所以正確寫(xiě)出二次型的矩陣是這一章節(jié)最基礎(chǔ)的要求，而且結(jié)合實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)的考察，也是一個(gè)重點(diǎn)。

本章節(jié)的常見(jiàn)題型如下：(1)二次型表示成矩陣形式;(2)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;(3)二次型正定性的判別。

線性代數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)比較瑣碎，各部分知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系一定要掌握清楚，另外關(guān)于這門(mén)學(xué)科的計(jì)算題也要多加練習(xí)，考試中不光要算對(duì)，還要算的快，以最短的時(shí)間取得最高的分?jǐn)?shù)是我們的目的，希望同學(xué)們把握時(shí)間認(rèn)真學(xué)習(xí)。